说起幻方，大家应该在小学时候就已经接触过了，最简单的就是九宫格，射雕英雄传中的那段至今还记得：戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。下面我们就来看看这个有趣的问题。
幻方可以分为：奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
奇数阶幻方
上面所说的九宫格就是典型的奇数阶幻方，奇数阶幻方值得是阶数为奇数的幻方。其最经典的填法是罗伯法。首先 把$1$（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的$(n^2-1)$个数，具体步骤为：
（1）每一个数放在前一个数的右上一格；
（2）如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
（4）如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在底行且最左列；
（5）如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
上述步骤可以总结为七言绝句：
先填上行正中央， 依次斜填切莫忘。 上格没有顶格填， 顶格没有底格放。—奇幻七绝
下面有人通过作图可以很好的解释这几句话，现借鉴如下：
从上面的图可以看出，该图与我们前面的九宫格口诀不相符，上下颠倒了。但是这都是对的，本质上没有区别。
双偶数阶幻方
所谓双偶阶幻方就是当$n$可以被$4$整除时的偶阶幻方，即$4K$阶幻方。其最经典的填法为海尔法，下面以$8$阶幻方为例，具体的填法为：
（1）先把数字按顺序填。然后，按$4\times 4$把它分割成$4$块（如图）
（2）每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。
单偶数阶幻方
所谓单偶阶幻方就是当$n$不可以被$4$整除时的偶阶幻方，即$4K+2$阶幻方。如$(n=6, 10,\cdots)$的幻方。其经典的填法为斯特拉兹法，以$10$阶幻方为例，具体的步骤如下：
1）把魔方阵分为$A,B,C,D$四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在$A$象限，$D$象限，$B$象限，$C$象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在$A$象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出$k$格。$A$象限的其它行则标出最左边的$k$格。将这些格，和$C$象限相对位置上的数互换位置。
（3）在$B$象限所有行的中间格，自右向左，标出$k-1$格。(注：$6$阶幻方由于$k-1=0$，所以不用再作$B$、$D$象限的数据交换)，将这些格，和$D$象限相对位置上的数互换位置。
具体的程序实现如下：
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| #include<stdio.h>
bool check(int matrix[10][10],int n)
{
int sum=0;
int temp=0;
int i=0,j=0,k=0;
for( i=0;i<n;i++)
sum=sum+matrix[0][i];
for(j=1;j<n;j++)
{
temp=0;
for(k=0;k<n;k++)
temp=temp+matrix[j][k];
if(temp!=sum)
return false;
}
for( j=0;j<n;j++)
{
temp=0;
for(k=0;k<n;k++)
temp=temp+matrix[k][j];
if(temp!=sum)
return false;
}
temp=0;
for(i=0;i<n;i++)
temp=temp+matrix[i][i];
if(temp!=sum)
return false;
temp=0;
for(i=0;i<n;i++)
temp=temp+matrix[i][n-1-i];
if(temp!=sum)
return false;
printf("该方阵为幻方！\n");
return true;
}
void Odd(int n,int matrix[10][10])
{
int i=0,j=n/2;
int number=1;
for(int k=0;k<n*n;k++)
{
matrix[i][j]=number;
i--;
j++;
number++;
if(i<0&&j<n)
{
i=n-1;
}
else if(i>=0&&j>=n)
{
j=0;
}
else if(i<0&&j>=n)
{
if(matrix[n-1][0]!=0)
{
i=i+2;
j=j-1;
}
else
{
i=n-1;
j=0;
}
}
if(matrix[i][j]!=0)
{
i=i+2;
j=j-1;
}
}
}
void DoubleEven(int n,int matrix[10][10])
{
int number=1;
int temp=0;
int i=0,j=0,k=0;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
matrix[i][j]=number++;
for(i=0;i<n;i=i+4)
for(j=0;j<n;j=j+4)
for(k=0;k<4;k++)
{
matrix[i+k][j+k]=n*n+1-matrix[i+k][j+k];
matrix[i+k][j+3-k]=n*n+1-matrix[i+k][j+3-k];
}
}
void SingleEven(int n,int matrix[10][10])
{
int degree=n/2;
int flag=n/4;
int i=0,j=0,k=0;
int temp=0;
int matrix1[10][10]={0};
int matrix2[10][10]={0};
int matrix3[10][10]={0};
int matrix4[10][10]={0};
Odd(degree,matrix1);
for(i=0;i<degree;i++)
for(j=0;j<degree;j++)
{
matrix2[i][j]=matrix1[i][j]+degree*degree;
matrix3[i][j]=matrix1[i][j]+degree*degree*2;
matrix4[i][j]=matrix1[i][j]+degree*degree*3;
}
for(i=0;i<degree;i++)
for(j=0;j<flag;j++)
if(i!=(degree/2))
{
temp=matrix1[i][j];
matrix1[i][j]=matrix4[i][j];
matrix4[i][j]=temp;
}
else
{
temp=matrix1[i][j+degree/2];
matrix1[i][j+degree/2]=matrix4[i][j+degree/2];
matrix4[i][j+degree/2]=temp;
}
for(i=0;i<degree;i++)
for(j=0;j<flag-1;j++)
{
temp=matrix2[i][j+degree/2];
matrix2[i][j+degree/2]=matrix3[i][j+degree/2];
matrix3[i][j+degree/2]=temp;
}
for(i=0;i<degree;i++)
{
for(j=0;j<degree;j++)
matrix[i][j]=matrix1[i][j];
for(k=0;k<degree;k++)
matrix[i][j+k]=matrix3[i][k];
}
for(i=0;i<degree;i++)
{
for(j=0;j<degree;j++)
matrix[i+degree][j]=matrix4[i][j];
for(k=0;k<degree;k++)
matrix[i+degree][j+k]=matrix2[i][k];
}
}
void main()
{
int matrix[10][10]={0};
int n; printf("%d",6%2);
printf("请输入幻方的阶数：");
scanf("%d",&n);
if(n%2!=0)
Odd(n,matrix);
else if(n%4!=0)
SingleEven(n,matrix);
else
DoubleEven(n,matrix);
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
printf("%d ",matrix[i][j]);
printf("\n");
}
check(matrix,n);
}
|
