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【数值分析】误差的分析与减少及Matlab解线性方程的四种方法

误差的来源

  • 模型误差:数学模型与实际问题之间的误差
  • 观测误差:测量数据与实际数据的误差
  • 方法误差:数学模型的精确解与数值方法得到的数值解之间的误差:例如
  • 舍入误差:对数据进行四舍五入后产生的误差

减少误差的几种方法

​ 现在,我们一般用计算机解决计算问题,使用最多的是Matlab软件。对实际问题进行数学建模时,可能存在模型误差,对数学模型进行数值求解时,我们使用的方法可能产生方法误差,我们输入计算机的数据一般是有测量误差的,计算机在运算过程的每一步又会产生舍入误差(十进制转化为二进制时可能产生舍入误差)。由此看来,解决一个问题,基本上会有以上四种四种误差。记得高中物理老师说过,错误是可以避免的,误差是不可避免的,我们只可以减少误差。下面我们就来介绍减少误差的几种方法:

  • 避免两个相近的数相减
    比如: 当$x=10003$时,计算$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$的近似值。
    如果使用$6$位十进制浮点运算,运算时取$6$位有效数字,结果如下:

    结果只有一位有效数字,与之前相比,损失了$5$位有效数字。

    如果使用下面的方法:

    则结果有$6$位有效数字,与精确值$0.00499912523117984\cdots$较为接近。

  • 防止重要的小数被大数吃掉
    比如: 已知$x=3\times 10^{12},y=7,z=-3\times 10^{12}$,求$x+y+z$
    如果按照$(x+y)+z$的顺序来求的话,由于$x$远大于$y$,在计算机中可能导致$x+y=x$的情况,因此我们可以按照$(x+z)+y$的顺序计算得到正确的结果。

  • 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
    比如:用消去法解线性方程组

    这个方程组的正确解为:

    对于上述方程组,当我们将第一个方程除以$0.00003$减去第二个方程时,可以得到下面的化简和计算结果:

    显然上述结果严重失真,产生了很大的误差。这就是由于除数的绝对值远小于被除数的绝对值造成的。为了避免上述情况,我们可以用第二个方程消去第一个方程中的$x_1$,即第二个方程乘以$0.00003$减去第一个方程,得到如下表达式和结果:

    将结果与正确解相比发现,这是一组相当好的近似解。

  • 注意算法的稳定性
    所谓算法的稳定性是指,一个算法如果输入数据有误差,而在计算过程中误差不增长,那么称此算法是数值稳定的。


上面的部分基本上都来源于《数值分析》一书,讲的挺好的,这些减小误差的方法,我们平时需要多注意,在用c进行编程实现时需要注意,而用Matlab实现时,上面的问题都不是问题了,不过我们要学习的是这种方法和技巧。下面讲讲,在实现上述方法的Matlab的知识:1、精度控制;2、解线性方程组。

精度控制

  • format digits vpa函数的使用
  • format只用来控制显示精度的,并不控制计算精度,digits用来控制计算精度,vpa也是控制计算精度。
  • digits必须与vpa配合使用,单独不起作用。
  • vpa可单独控制计算精度

    具体操作如下图:

  1. ​ format的操作

    图1

  2. ​ digits的操作
    图2

  3. ​ vpa的操作
    图3


解非齐次线性方程组

可以通过以下四种方法求解该方程组:

用矩阵表示上述的线性方程组如下:

  • 求逆矩阵法

  • 矩阵左除法

  • 初等行变换

  • 卡莱姆法则

具体的程序实现如下:

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clear all
clc

A=[ 6 2 3 4 5
2 -3 7 10 13
3 5 11 -16 21
2 -7 7 7 2
7 3 -5 3 10]
b=[80 59 90 22 85]'

x1=inv(A)*b%逆矩阵法
x2=A\b%矩阵左除法
x3=rref([A b])%初等行变换

%克拉姆法则
for i=1:length(A)
B=A;
B(:,i)=b;
x(i)=det(B)/det(A);
end
x'

运行结果如下图:

图4

注意事项:当系数矩阵$A$不是方阵,或$A$的行列式为$0$时,逆矩阵法和克拉姆法则无法使用,而初等行变换能适用于各种线性方程组的求解。

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