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【数值分析】复化积分公式

对于积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$只要找到被积公式的原函数$F(x)$,利用牛顿莱普利兹公式有:

但是,实际使用这种求积分的方法往往是有困难的,因为大量的被积函数的原函数是不能用初等函数表示的;另外,当$f(x)$是由测量或数值计算给出的一张数据表时,牛顿莱普利兹公式也无法直接运用,因此有必要研究积分的数值计算问题。


对于一些理论的推导,大家可以看看维基百科,下面我主要给出牛顿-科特斯公式在$n=1$(梯形求积公式)、$n=2$(辛普森公式)的情况,并通过代码实现

梯形公式:

辛普森公式:

应用高阶牛顿-科特斯公式计算积分时,会出现数值不稳定的情况,而低阶公式往往因为积分步长过大使得离散误差变大,因此,为了提高求积公式的精度,可以把积分区间分成若干个子区间,在每个子区间上使用低阶求积公式,然后将结果加起来,这种方法称为复化求积法。

复化梯形公式

将区间$[a,b]$划分为$n$等分,步长为$h=(b-a)/h$,节点为$x_i=a+ih,i=1,2,\cdots,n+1$,在每个子区间$[x_i,x_{i+1}]$ 使用梯形公式得:

复化辛普森公式

根据复化梯形公式的推导,同理可得复化辛普森公式为:


下面我们通过实例来实现复化梯形公式和复化辛普森公式:

对于函数$f(x)=\sin(x)/x$,试用复化梯形公式和复化辛普森公式计算函数$f(x)$在$[0, 1]$上的积分。

具体的程序实现如下:

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#include<stdio.h>
#include<math.h>
double Function(double x)//所要计算积分的函数f(x)
{
if(x==0)//sin(x)/x在0处的取值为1
return 1;
else
return sin(x)/x;
}
//复化梯形公式
double Trapz(double a,double b,int n)
{
double h=(b-a)/n;
double T=0;
for(int i=1;i<n;i++)
{
T=T+Function(a+i*h);
}
T*=2;
T=(Function(a)+Function(b)+T)*h/2;
return T;
}
//复化辛普森公式
double MulripleSimpson(double a,double b,int n)
{
double h=(b-a)/n;
double T=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
T=T+Function(a+i*h)+4*Function(a+(i+0.5)*h)+Function(a+(i+1)*h);
}
T=T*h/6;
return T;
}
void main()
{
printf("使用复化梯形公式可得:%f\n",Trapz(0,1,8));
printf("使用复化辛普森公式可得:%f\n",MulripleSimpson(0,1,4));
}

运行结果如下图:

图1

结果分析:

比较复化梯形公式和复化辛普森公式两种方法的运行结果,我们发现复化辛普森公式与准确值$0.9460831$更加接近,复化梯形公式只有$2$位有效数字,而复化辛普森公式有$6$为有效数字。

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